Sự chuyển đổi từ các phương trình vi phân cấp cao sang hệ phương trình bậc nhất đại diện cho một sự thay đổi sâu sắc về cách nhìn nhận. Thay vì theo dõi gia tốc của một biến duy nhất, chúng ta phát triển một vector không gian trạng thái biểu diễn vị trí, vận tốc và các đạo hàm cấp cao hơn đồng thời. Mọi phương trình tuyến tính cấp $n$ đều có thể được phân tích thành một hệ phương trình bậc nhất liên kết gồm $n$ phương trình, cho phép chúng ta tận dụng tối đa sức mạnh của đại số ma trận.
1. Phương pháp giảm bậc
Để chuyển đổi phương trình vô hướng cấp $n$ là $y^{(n)} = F(t, y, y', \dots, y^{(n-1)})$, ta xác định một tập các biến phụ trợ:
$$x_1 = y, x_2 = y', \dots, x_n = y^{(n-1)}$$
Phép thế này dẫn đến phương trình vectơ $\mathbf{x}' = \mathbf{f}(t, \mathbf{x})$. Đối với một dao động cơ học cổ điển mô tả bởi $$mu'' + \gamma u' + ku = F(t)$$, phép biến đổi cho ra kết quả:
- $x_1' = x_2$
- $x_2' = -\frac{k}{m}x_1 - \frac{\gamma}{m}x_2 + \frac{1}{m}F(t)$
Ví dụ 1: Biến đổi hệ lò xo-khối lượng
Chuyển động của một hệ lò xo-khối lượng nhất định được mô tả bởi phương trình vi phân cấp hai $u'' + \frac{1}{8}u' + u = 0$. Hãy viết lại phương trình này dưới dạng hệ phương trình bậc nhất.
Giả sử $x_1 = u$ (vị trí) và $x_2 = u'$ (vận tốc). Do đó, $x_1' = x_2$.
Thay vào phương trình vi phân: $x_2' + \frac{1}{8}x_2 + x_1 = 0 \Rightarrow x_2' = -x_1 - \frac{1}{8}x_2$.
$$\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1/8 \end{pmatrix} \mathbf{x}$$
2. Các hệ vật lý ghép nối
Trong khi việc giảm bậc là một thuận tiện toán học cho các phương trình đơn lẻ, các hệ phương trình xuất hiện một cách tự nhiên trong các môi trường phức tạp:
- Hệ thống cơ học: Các hệ nhiều khối lượng (như Hình 7.1.1) bao gồm các lực ghép nối, nơi chuyển động của một khối ảnh hưởng đến khối kia thông qua định luật Hooke.
- Các bể chứa liên kết: Dòng chảy chất lỏng giữa các bể (Hình 7.1.6) dựa trên định luật bảo toàn khối lượng, trong đó tốc độ thay đổi lượng muối trong Bể 1 phụ thuộc vào nồng độ trong Bể 2.
- Mạch điện: Sử dụng các quan hệ cấu tạo $$V = RI, C \frac{dV}{dt} = I, L \frac{dI}{dt} = V$$, ta xây dựng các hệ thống mô tả sự tiến hóa đồng thời của điện áp và dòng điện qua cuộn cảm (L), tụ điện (C) và điện trở (R).